Erdős Pál tévedett? Az MI megoldotta a legendás magyar tudós nyolcvanéves problémáját

A matematikusok közösségét ritkán érik olyan váratlan meglepetések, amelyek alapjaiban rengetik meg a tudományág belső hierarchiáját és móds...

A matematikusok közösségét ritkán érik olyan váratlan meglepetések, amelyek alapjaiban rengetik meg a tudományág belső hierarchiáját és módszertanát. Nemrégiben azonban pontosan ez történt: az OpenAI bejelentette, hogy egyik belső mesterségesintelligencia-modellje megcáfolta a legendás magyar matematikus, Erdős Pál egyik híres, 1946-ban megfogalmazott sejtését.

Az eredmény nemcsak a probléma kora miatt keltett hatalmas szenzációt, hanem azért is, mert ez az első olyan alkalom, amikor egy általános célú MI önállóan, emberi beavatkozás nélkül hozott létre egy szakmailag mély és izgalmas matematikai felfedezést. (1) Daniel Litt kanadai matematikus találóan úgy fogalmazott, hogy ez az első olyan mesterséges intelligencia által produkált eredmény, amelyet önmagában is igazán érdekesnek és jelentősnek tart.

A szóban forgó probléma a síkbeli egységtávolságok kérdése, amelyet a szakmában gyakran csak Erdős-problémaként emlegetnek. Első pillantásra a feladat megtévesztően egyszerű, ahogyan az Erdős által felvetett kérdések többsége. Képzeljük el, hogy van egy végtelenül nagy papírlapunk, amelyre felrajzolunk bizonyos számú, mondjuk 'n' darab pontot. A pontokat teljesen tetszőlegesen, a saját ízlésünk szerint rendezhetjük el a síkban. A kérdés az: legfeljebb hány olyan pontpár hozható létre ebből az elrendezésből, amelyek között a távolság pontosan egy egység?

Ha valaki papírt és ceruzát ragad, hogy maga is kísérletezzen a feladattal, szinte azonnal egy szabályos, négyzetrácsos elrendezés felé fog hajlani. Az intuitív emberi logika azt diktálja, hogy a rácsszerkezet a legalkalmasabb arra, hogy sűrűn, egymástól azonos távolságra lévő pontpárokat generáljon. Ahogy a pontok száma növekszik, ez a négyzetrácsos struktúra továbbra is rendkívül hatékonynak tűnik. Évtizedeken át a világ legnagyobb elméi is úgy gondolták, hogy ezeknél a szigorúan szabályos elrendezéseknél nem létezik jobb megoldás. Maga Erdős Pál is azt sejtette, hogy semmilyen alternatív konstrukció nem képes lényegesen felülmúlni a rácsalapú elrendezést, még extrém nagy pontszámok esetén sem.

Az elmúlt nyolcvan évben a matematikusok generációi próbálták bebizonyítani vagy cáfolni Erdős igazát. Ezen erőfeszítések során a probléma összekapcsolódott a modern matematika olyan mély területeivel, mint az incidencia geometria, a gráfelmélet és az extremális kombinatorika. Bár a végső, mindent lefedő bizonyítás váratott magára, a szakmában az az általános vélekedés uralkodott, hogy Erdős megérzése helyes volt, és a sejtés igaz.

Az OpenAI áttörése azonban bebizonyította, hogy Erdős intuíciója ebben az esetben tévesnek bizonyult. A mesterséges intelligencia az algebrai számelmélet eszköztárát hívta segítségül, hogy megmutassa: léteznek olyan pontmintázatok, amelyek végtelen sok 'n' érték mellett lényegesen több egységtávolságú párt tartalmaznak, mint amennyit a hagyományos négyzetrács valaha képes lenne biztosítani. Érdekesség, hogy a gép által kijelölt úton elindulva Will Sawin amerikai matematikus napokkal később még tovább finomította az eredményt. Az új matematikai konstrukció összetettségét jól mutatja, hogy Sawin továbbfejlesztett formulája a becslések szerint csak körülbelül 10²⁰⁰⁰⁰⁰⁰ pont esetén kezd el érdemi javulást mutatni a korábbi elméletekhez képest – ez a szám egy egyes, amit kétmillió nulla követ.

A felfedezés horderejét a szakma legnagyobbjai is azonnal elismerték. Timothy Gowers, a rangos Fields-érem kitüntetettje kijelentette, hogy ha egy emberi kutató nyújtotta volna be ezt a tanulmányt az Annals of Mathematics című folyóirathoz, ő maga gondolkodás nélkül javasolta volna annak megjelentetését. Hozzátette, hogy korábban egyetlen MI által generált bizonyítás sem közelítette meg ezt a kifinomultsági szintet. Ami még inkább megdöbbentő, hogy a gép mindezt minimális emberi irányítással érte el. A publikációból kiderül, hogy a modell csupán egy kezdeti feladatmeghatározást kapott, majd a saját belső "gondolatmenetét" követve, önállóan jutott el a logikai konklúzióig.

Ez a siker alapvető kérdéseket vet fel azzal kapcsolatban, hogyan fog kinézni a tudományos kutatás a jövőben. A matematikusok régóta használnak számítógépeket, de a munkájukat eddig ritkán vezérelte a puszta számítási kapacitás. A nagy áttörések hagyományosan három pillér egyensúlyából születnek: az évek során felhalmozott szaktudásból, az ötletek kreatív és kitartó teszteléséből (amelyek többsége vakvágánynak bizonyul), valamint az időnkénti koncepcionális ugrásokból, amelyek hirtelen teljesen új megvilágításba helyeznek egy problémát.

Az első két területen a mai nagy nyelvi modellek már most is verhetetlenek. Ahogy Gowers megjegyezte, az olyan rendszerek, mint a ChatGPT, szinte enciklopédikus tudással rendelkeznek a matematika teljes spektrumáról. Emellett képesek hatalmas mennyiségű spekulatív kutatási irányt végigkövetni anélkül, hogy fáradtságot éreznének, vagy kötné őket az emberi idő korlátja. Az Erdős-probléma esetében az MI képes volt összekötni a szakirodalomban már meglévő, de korábban elszigetelt gondolatokat, és egyetlen koherens bizonyítássá gyúrni őket.

A nagy kérdés persze az marad, hogy a mesterséges intelligencia képes-e a valódi, intuitív "Heuréka-pillanatokra". Azokra a hirtelen felismerésekre, amelyek egy csapásra átkereteznek egy addig megoldhatatlannak hitt kérdést. Sokáig úgy gondoltuk, hogy ez a fajta elvont, kreatív szikra a matematika leginkább emberi oldala, amit a gépek képtelenek lemásolni.

Bár a jelenlegi modellek működése mögött húzódó logika még nem ad egyértelmű választ arra, hogy valódi kreativitásról vagy rendkívül fejlett mintázatfelismerésről van-e szó, az eredmények önmagukért beszélnek. Nemcsak az OpenAI ünnepelhetett: szinte ugyanazon a héten a Google DeepMind csapata is bejelentette, hogy saját modelljeik segítségével kilenc másik, szintén Erdős Pál által hátrahagyott, nyitott matematikai problémát oldottak meg sikeresen.

A matematika története évszázadokon át az emberi elme kitartásáról és kreativitásáról szólt. Most azonban egy tektonikus elmozdulás tanúi vagyunk. A kutatók többé nincsenek egyedül: olyan digitális kollégákkal dolgoznak együtt, amelyek képesek autonóm módon feltérképezni a gondolatok végtelen tereit, és olyan problémákra adnak választ, amelyeket korábban kizárólag az emberi zsenialitás számára fenntartott területnek hittünk. (2)

(1) - https://www.nature.com/articles/d41586
(2) - https://theconversation.com/an-ai-soluti